Propiedades de las Relaciones (Antisimétrica)

Una relación binaria R sobre un conjunto A es antisimétrica cuando se da que si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces estos elementos son iguales.
Es decir,

Representación

Sea R una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

• Como pares ordenados,

• Como matriz de adyacencia M, la matriz no tiene ningún 2 salvo, a lo sumo, en la diagonal.

• Como grafo, éste no contendrá ciclos, pero sí podrá tener bucles en sus nodos.

Ejemplos
Sea A un conjunto cualquiera:

R es antisimétrica≡ 

∀ x ∀ y (xRy & yRx ⇒ y=x)



• Sea , ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• Sea , ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

 Antisimétrica /RE :=

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de antisimetría.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A,R).
La definición de Antisimetría se apoya sobre la existencia previa de una Relación de Equivalencia RE.

La definición de Antisimetría se apoya sobre la existencia previa de una Relación de Equivalencia RE.

 La definición de la Relación Antisimétrica significa que no coexisten en la relación pares simétricos

salvo los (x x) que están en la diagonal principal.

Esto se observa fácilmente tomando la Proposición Contrarrecíproca (PCR) de la definición dada:

PCR Proposición Contrarrecíproca

 Las relaciones Antisimétricas son independientes y compatibles con las relaciones Simétricas y ASimétricas,

es decir las pueden ser simultáneas, como lo prueban los siguientes ejemplos:

A AxA A AxA

P. ejem. La relación ”madre de” es antisimétrica porque six es madre dey,

excluye ay es madre dex.

•En el grafo de unarelación

antisimétrica, ningún arco tiene un

compañero en dirección opuesta .

Equipo 5

Francisco Antonio Alberto

Gallardo Gaspar Saúl
Hernandez Gonzales Carlos

Reyes Vite Ana Karen

Rodriguez Jalife Yael